ENEM - Polinômios

Dados os números complexos a_n, a_n-1, ..., a₂, a₁, e a₀, chamamos de polinômio ou função polinomial na variável x a função f: C → C tal que:

f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ (n ∈ N)

Em que a_nxⁿ, a_n-1x^n-1, ..., a₂x², a₁x e a₀ são termos e a_n, a_n-1, ..., a₂, a₁ e a₀ são os coeficientes do polinômio.

Expressões cujos expoentes não sejam números naturais não são polinômios. Por exemplo:

• x² + x^1/2 (1/2 ∉ N)
• 2x^-3 + x (-3 ∉ N e -2 ∉ N)

 

Grau

Grau do polinômio P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a_px^p + ... + a₂x² + a₁x + a₀ é n se, e somente se, a_n ≠ 0. Indicamos por gr(P) o grau de Px(x).

Exemplo:

• P(x) = 4x³ + 1: gr(P) = 3
• Q(x) = 7x⁵ +3x² - x: gr(Q) = 5

Valor numérico

O valor numérico do polinômio P(x) = a_xxⁿ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ para x igual a um número qualquer y ∈ C, é P(x) = a_xyⁿ + ... + a₂y² + a₁y + a₀. Isto é, para obter P(y), basta substituir x por y em P(x).

• Quando P(y) = 0, y é raiz de P(y):

P(2) = 2² - 5.2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0

P(3) = 3² - 5.3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0

• Como 1ⁿ = 1, ∀ n ∈ N, P(1) é a soma dos coeficientes de P(x):

P(x) = 5x⁴ - 3x² - 4x + 1 ⇒ P(1) = 5.1⁴ + 3.1³ - 2.1² - 4.1 + 1 = 3

Portanto, a soma dos coeficiente de P(x) = 3.

• P(0) é igual ao termo independente de P(x):

a) P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a_px^p + ... + a₂x² + a₁x + a₀

    ⇒ a_n0ⁿ + a_n-10^n-1 + ... + a_p0^p + ... + a₂0² + a₁0 + a₀

    ⇒ 0 + 0 + ... + 0 + 0 + 0 + a_{0 =} a₀

b) Para determinar o termo independente da expressão (x² - x + 1)²³, basta fazer:

P(x) = (x² - x + 1)²³ ⇒ P(0) = (0² - 0 + 1)²³ = 1²³ = 1 (termo independente de P(x))

Polinômio indenticamente nulo

O polinômio em que todos os coeficientes são nulos é o polinômio indenticamente nulo. Por exemplo, P(x) = ax² + (b-1)x - 2 será indeticamente nulo se todos os coeficientes forem iguais a 0. Assim:

• a = 0
• b - 1 = 0 ⇒ b = 1
• c - 2 = 0 ⇒ c = 2

Polinômios idênticos

Dados os polinômios P₁(x) =  a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ e P₂(x) = b_nxⁿ + b_n-1x^n-1 + ... + b₁x + b₀, dizemos que P₁(x) é idêntico a P₂(x) se, e somente se, todos os coeficientes de P₁(x) forem ordenadamente iguais aos de P₂(x):

P₁(x) ≡ P₂(x) ⇔ a_n = b_n, a_n-1 = b_n-1, ..., a₁ = b₁ e a₀ = b₀

OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

Adição, subtração e multiplicação

Estas operações já foram estudadas no ensino fundamental. Assim, faremos uma revisão com alguns exemplos.

a) Dados P(x) = x³ + 3x² + 4x - 3 e Q(x) = 2x⁴ - 2x³ + 3x + 2, temos:

• P(x) + Q(x) = x³ + 3x² + 4x - 3 + 2x⁴ - 2x³ + 3x + 2 = 2x⁴ - x³ + 3x² + 7x - 1
• P(x)  - Q(x) = x³ + 3x² + 4x - 3 - (2x⁴ - 2x³ + 3x + 2) = x³ + 3x² + 4x - 3 - 2x⁴ + 2x³ - 3x - 2 = -2x⁴ + 3x³ + 3x² + x - 5
• 2P(x) + 3Q(x) = 2(x³ + 3x² + 4x - 3) + 3(2x⁴ - 2x³ + 3x + 2) = 2x³ + 6x² + 8x - 6 + 6x⁴ + 6x³ + 9x + 6 = 6x⁴- 4x³ + 6x² + 17x

b) Sendo R(x) = 3x³ + 2x e S(x) = 4x - 3, temos:

R(x) . S(x) = (3x³ + 2x)(4x - 3) = 12x³ + 8x² - 9x² - 6x = 12x³ - x² - 6x

Divisão

Dados os polinômios A(x) e B(x) não identicamente nulos, dividir A(x) por B(x) é obter os polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto), tais que:

A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x) e R(x) ≡ 0 ou gr(R) < gr(B)

Esquematicamente, temos:

A(x) / B(x) = Q(x) + R(x) 

A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x)

Observação: Temos sempre gr(Q) = gr(A) - gr(B)

Como exemplo, vamos dividir A(x) = x³ + 3x² + 4 por B(x) = x² + 1. Acompanhe os passos a seguir.

• Dividimos o termo de maior grau de A(x) pelo termo de maior grau de B(x):

x³ / x² = x

→ (x³ + 3x² + 0x + 4) / (x² + 1) = x

• Multiplicamos o quociente x por B(x) e subtraímos o produto de A(x):

x(x² + 1) = x³ + x

⇒ (x³ + 3x² + 0x + 4)/(x² + 1)

x³ + 3x² + 0x + 4 |_x² + 1___

-x³             -x         x               

• Somamos os termos semelhantes, obtendo o primeiro resto parcial:

x³ + 3x² + 0x + 4 |_x² + 1___

-x³             -x         x              

3x² - x + 4                     

• Repetimos esses três passos para o termo de maior grau do resto parcial (3x²):

x³ + 3x² + 0x + 4 |_x² + 1___

     -x³         -x                x + 3            

3x² - x + 4                               

-3x²         - 3                                

-x + 1                        

Como o grau do resto (-x + 1) é menor que o grau do divisor (x² + 1), a divisão está encerrada, e Q(x) = x + 3 e R(x) = -x + 1.

Verificamos, então, que:

x³ + 3x² + 0x + 4 ≡ (x² + 1)(x + 3) + (-x + 1)

A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x)

Vamos agora determinar o quociente e o resto da divisão de A(x) = x⁴ - 3x³ + x² - 4x + 3 por B(x) = x² + x + 1 e verificar que gr(Q) = gr(A) - gr(B) e A(x) = B(x) . Q(x) + R(x):

Dividindo:

x⁴ - 3x³ + x² - 4x + 3 |_x² + x + 1__ → divisor: B(x)

  -x⁴ - x³ - x²                 x² - 4x + 4    → quociente: Q(x)

 -4x³ + 0x² -4x + 3                                                   

_4x³ + 4x² + 4x                                                      

4x² + 0x + 3                                         

 -4x² - 4x - 4                                            

-4x - 1 → resto: R(x)             

                                

Como gr(R) = 1 e gr(B) = 2, a divisão está terminada.

Verificamos, então, que:

grau do quociente = grau do dividendo - grau do divisor

gr(Q) = gr(A) - gr(B)

2 = 4 - 2

Verificamos, também, que:

(x⁴ - 3x³ + x² - 4x + 3) ≡  (x² + x + 1)(x² - 4x + 4) + (-4x - 1)

A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x)

Método dos coeficientes a determinar

Acabamos de ver que:

A(x) |_B(x)__

R(x)    Q(x)   

A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x)

gr(Q) = gr(A) - gr(B)

gr(R) < gr(B)

Essas relações podem ser usadas como recursos para determinar os coeficientes de um polinômio em uma divisão.

Vamos determinar o quociente e o resto da divisão de A(x) = x³ + 2x² - 3x + 2 por B(x) = x² + x + 1:

x³ + 2x² - 3x + 2 |__x² + x + 1__

R(x)                Q(x)

O quociente é um polinômio do primeiro grau, pois:

gr(Q) = gr(A) - gr(B) = 3 - 2 = 1

Logo, Q(x) = ax + b.

Como gr(R) < gr(B) e gr(B) = 2, então gr(R) < 2, ou seja, o resto tem, no máximo, grau 1: R(x) = cx + d.

Sendo A(x) ≡ B(x) . Q(x) + Q(x), podemos escrever:

x³ + 2x² - 3x + 2 ≡ (x² + x + 1)(ax + b) + cx + d

⇒ x³ + 2x² - 3x + 2 ≡ ax³ + ax + bx² + bx + b + cx + d

⇒ x³ + 2x³ - 3x + 2 ≡ ax³ + (b + a)x² + (b + a + c)x + b + d

Comparando ambos os membros, temos:

x³ = ax³ ⇒ a = 1

2x² = (b + a)x² ⇒ b + a = 2 ⇒ b + 1 = 2 ⇒ b = 1

-3x = (b + a + c)x ⇒ b + a + c = -3 ⇒ 1 + 1 + c = -3 ⇒ c = -5

b + d = 2 ⇒ 1 + d = 2 ⇒ d = 1

Logo, Q(x) = ax + b = x + 1 e R(x) = cx + d = -5x + 1


Aguardem as próximas postagens